Значение слова ИНТЕГРАЛ

Интеграл

интеграл — одно из важнейших понятий математического анализа, которое возникает при решении задач о нахождении площади под кривой, пройденного пути при неравномерном движении, массы неоднородного тела, и тому подобных, а также в задаче о восстановлении функции по её производной ("неопределённый интеграл").

Википедия

Найдите другие интересные слова

Введите слово в форму поиска, чтобы найти его значение

Например: город энергия релакс вариативный Самара
Сохрани в соц. сетях, чтобы не потерять!

Определение слова Интеграл в словарях

Большой современный толковый словарь русского языка

Интеграл определение

м.Целая величина, рассматриваемая как сумма своих бесконечно малых частей ( в математике ) .

Новый словарь иностранных слов

Интеграл значение

( лат. integer целый) лет.
1) неопределенный и. от данной функции - функция, производная от которой совпадает с данной функцией, иначе - функция, получающаяся в результате действия, обратного дифференцированию;
2) определенный и. от данной функции - площадь под графиком этой функции;
3) целая величина, рассматриваемая как сумма своих бесконечно малых частей.

Новый толково-словообразовательный словарь русского языка Ефремовой

Интеграл значение слова

м. Целая величина, рассматриваемая как сумма своих бесконечно малых частей.

Словарь Даля

Интеграл это

муж. , мат. , лат. конечная, измеримая величина, в отношении к бесконечно малой части ее, к дифференциалу. Интегральное вычисление, искусство отыскивать интеграл по дифференциалу. Интегрировать, вычислять, находить интеграл; интеграция жен. действие это.

Словарь иностранных выражений

Интеграл

[лет.

1. неопределенный и. от данной функции - функция, производная от которой совпадает с данной функцией, иначе - функция, получающаяся в результате действия, обратного дифференцированию;

2. определенный и. от данной функции - площадь под графиком этой функции;

3. целая величина, рассматриваемая как сумма своих бесконечно малых частей.

Словарь русского языка Лопатина

Интеграл

интегр`ал, -а

Словарь русского языка Ожегова

Интеграл

В математике: величина, получающаяся в результате действия, обратного дифференцированию

Современный толковый словарь, БСЭ

Интеграл

(от лат. integer - целый), см. Интегральное исчисление.

Толковый словарь Ефремовой

Интеграл

интеграл м. Целая величина, рассматриваемая как сумма своих бесконечно малых частей.

Толковый словарь русского языка Ушакова

Интеграл

интеграла, м. (от латин. integer – целый) (мат.). Конечная измеримая величина в отношении к бесконечно малой части ее – к диференциалу.

Большая советская энциклопедия, БСЭ

Интеграл

(от лат. integer - целый), одно из важнейших понятий математики, возникшее в связи с потребностью, с одной стороны, отыскивать функции по их производным (например, находить функцию, выражающую путь, пройденный движущейся точкой, по скорости этой точки), а с другой - измерять площади, объёмы, длины дуг, работу сил за определённый промежуток времени и т. п. Соответственно с этим различают неопределенные и определённые И., вычисление которых является задачей интегрального исчисления .Неопределённый интеграл. Первообразная функции f ( x ) одного действительного переменного - функция F ( x ), производная которой при каждом значении х равна f ( x ). Прибавляя постоянную к первообразной какой-либо функции, вновь получают первообразную той же функции. Следовательно, имея одну первообразную F ( x ) функции f ( x ), получают общее выражение всех первообразных этой функции в виде F ( x )+ С. Это общее выражение первообразных называют неопределённым интегралом:функции f ( x ). Одна из основных теорем интегрального исчисления устанавливает, что каждая непрерывная функция f ( x ) действительного переменного имеет неопределённый И. Определённый интеграл . Определённый И. функции f ( x ) с нижним пределом а и верхним пределом b можно определить как разностьгде F ( x ) есть первообразная функции f ( x ); определение не зависит от того, какая из первообразных выбрана для вычисления определённого И. Если функция f ( x ) непрерывна, то приведённое определение в случае a < b равносильно следующему определению, данному О. Коши (
1823): рассматривают произвольное разбиение отрезка [ a , b ] точкамив каждом отрезке [x i- 1, xi ] ( i 1, 2,. .. , n ) берут произвольную точку x i ( xi- 1 £ x i £ xi ) и образуют суммуСумма Sn зависит от выбора точек xi и x i . Однако в случае непрерывной функции f ( x ) суммы Sn , получающиеся при различном выборе точек xi и x i , стремятся к вполне определённому пределу, если максимальная из разностей xi - xi- 1стремится к нулю при n - ¥. Этот предел и является определённым интеграломПо определению,Определённый И., как указано выше, выражается через любую первообразную F ( x ). Обратно, первообразная F ( x ) может быть записана в видегде а - произвольная постоянная. В соответствии с этим неопределенный И. записывается в видеО возникновении понятия И., а также о свойствах неопределенных и определённых И. см. Интегральное исчисление . Обобщение понятия интеграла Интеграл Римана . О. Коши применял своё определение И. только к непрерывным функциям. Назвать, по определению, интеграломпредел сумм Sn при max ( xi - xi-
1) - 0 во всех тех случаях, когда этот предел однозначно определён, предложил Б. Риман (
1853). Он же исследовал условия применимости такого определения. Более совершенную форму этим условиям придал А. Лебег (
1902), пользуясь введённым им понятием меры множества (см. Меры теория ). Для интегрируемости в смысле Римана функции f ( x ) на [ a, b ] является необходимой и достаточной совокупность двух условий: f ( x )ограничена на [ а, b ], множество помещающихся на [ a , b ] точек разрыва функции f ( x ) имеет меру, равную нулю. Таким образом, непрерывность в каждой точке отрезка [ а , b ] совсем не обязательна для интегрируемости по Риману. Неопределённый И. и первообразную можно теперь определять формулами (
5) и (
4). Следует только заметить, что при этом первообразная F ( x ) не обязана иметь подинтегральную функцию f ( x ) своей производной в каждой точке. Но в каждой точке непрерывности f ( x ), т. е., в силу результата Лебега, всюду, кроме, может быть, множества меры, равной нулю, будетГ. Дарбу (
1879) дал определение интеграла Римана, которое делает особенно наглядными условиями существования такого И. Вместо сумм (
3) Дарбу вводит суммы (называемые суммами Дарбу) где Mk - верхняя грань функции f ( x ) на отрезке [ xk- 1, xk ], а mk - нижняя грань f ( x ) на том же отрезке. Если нижняя грань сумм , а - верхняя грань сумм , то для существования интеграла Римана необходимо и достаточно условие Общее значение величин и и является интегралом Римана (
6). Сами величины и называются верхним и, соответственно, нижним интегралами Дарбу. Интеграл Лебега. Введённое Лебегом понятие меры множества позволило дать значительно более широкое определение И. Чтобы определить И. (
6), Лебег делит точками ... < y -2 < y -1 < y 0 < y -1 < ... < yi < ... область возможных значений переменного у f ( x ) и обозначает Mi множество тех точек х из отрезка [ a, b ], для которых yi- 1 £ f ( x ) < yi. Сумма S определяется равенством S S i h i m( Mi ), где h i берётся из отрезка y i- 1 £ h i < yi , а m( Mi ) обозначает меру множества Mi. Функция f ( x ) называется интегрируемой в смысле Лебега на отрезке [ a , b ], если ряды, определяющие суммы S , абсолютно сходятся при max( yi - y i-
1) - 0 . Предел этих сумм и называется интегралом Лебега (
6). Можно определить первообразную в смысле Лебега как функцию F ( x ), удовлетворяющую равенству (
4), где И. в правой части понимается по Лебегу. Как и в случае интеграла Римана, равенство (
7) будет при этом выполняться во всех точках, кроме, может быть, множества, имеющего меру, равную нулю. Для интегрируемости по Лебегу ограниченной функции f ( x ) необходимо и достаточно, чтобы она принадлежала к числу измеримых функций в смысле Лебега. Все функции, встречающиеся в математическом анализе, измеримы в этом смысле. Более того, до настоящего времени (
1972) не построено ни одного индивидуального примера неизмеримой функции. Таким образом, для случая ограниченных функций Лебег решил задачу определения интеграла (
6) с общностью, исчерпывающей потребности математического анализа. Среди функций, интегрируемых по Лебегу, имеется сколько угодно функций, всюду разрывных и, следовательно, неинтегрируемых по Риману. Наоборот, каждая интегрируемая по Риману функция интегрируема и по Лебегу. Определение Лебега обобщается на случай интегрирования по полупрямой и по полной прямой, т. е. на случай И. видаПосле этого обобщения теория Лебега охватывает все случаи абсолютно сходящихся несобственных интегралов .Общность, достигнутая в определении Лебега, весьма существенна во многих вопросах математического анализа; например, только с введением интеграла Лебега могла быть установлена теорема Фишера - Риса в теории тригонометрических рядов, в силу которой любой ряддля которогопредставляет функцию f ( x ), порождающую коэффициенты an и bn по формулам где И. понимаются в смысле Лебега. Интеграл Стилтьеса. В конце 19 в. определение интеграла Римана подверглось совершенно иному обобщению, чем то, к которому привело введение понятия меры множества. Это обобщение было дано Т. Стилтьесом (
1894). Пусть f ( x ) - непрерывная функция действительного переменного х , определённая на отрезке [ a , b ], и U ( x ) - определённая на том же отрезке ограниченная монотонная (неубывающая или невозрастающая) функция. Для определения интеграла Стилтьеса берут произвольное разбиение (
2) отрезка [ a , b ] и составляют сумму f (x
1) [ U ( x
1) - U ( x
0)] + f (x
2) [ U ( x
2) - U ( x
1)] +...+ f (x n ) [ U ( xn ) - U ( xn-
1)],(
8) где x1, x2, ..., x n - произвольные точки, выбранные соответственно на отрезках [ x 0, x 1], [ x 1, x 2], ..., [ xn -1, xn ]. Пусть d - наибольшее расстояние между двумя последовательными точками деления в разбиении (
2). Если взять любую последовательность разбиений, для которой d стремится к нулю, то сумма (
8) будет иметь определённый, всегда один и тот же предел, как бы ни выбирались точки x1, x2, ..., x n на соответствующих отрезках. Этот предел называют, следуя Стилтьесу, интегралом функции f ( x ) относительно функции U ( x ) и обозначают символомИнтеграл (
9) (его называют также интегралом Стилтьеса) существует и в том случае, когда ограниченная функция U ( x ), не будучи сама монотонной, может быть представлена в виде суммы или разности двух ограниченных монотонных функций U 1( x ) и U 2( x ): U ( x ) U 1( x ) - U 2( x ), т. е. является функцией с ограниченным изменением (см. Изменение функции ). Если интегрирующая функция U ( х ) имеет ограниченную и интегрируемую по Риману производную U' ( x ), то интеграл Стилтьеса сводится к интегралу Римана по формулеВ частности, когда U ( x ) х + С , интеграл Стилтьеса (
9) превращается в обыкновенный интеграл Римана (
6). Дальнейшие обобщения. Концепции И., созданные Стилтьесом и Лебегом, удалось впоследствии объединить и обобщить на интегрирование по любому (измеримому) множеству в пространстве любого числа измерений. Классические кратные интегралы вполне охватываются этим подходом. Потребности таких дисциплин, как теория вероятностей и общая теория динамическим систем, привели к ещё более широкому понятию абстрактного интеграла Лебега, основанному на общих понятиях меры множества и измеримости функций. Пусть Х - пространство, в котором выделена определённая система В его подмножеств, называемых 'измеримыми', причём эта система обладает свойствами замкнутости по отношению к обычным теоретико-множественным операциям, выполняемым в конечном или счётном числе. Пусть m - конечная мера, заданная на В. Для В -измеримой функции у f ( x ), х Î Х , принимающей конечное или счётное число значений y 1, y 2, ..., yn , ..., соответственно на попарно непересекающихся множествах A 1, ..., Аn , ..., сумма которых есть X , интеграл функции f ( x ) по мере m, обозначаемый , определяется как сумма рядав предположении, что этот ряд абсолютно сходится. Для других f интегрируемость и И. определяются путём некоторого естественного предельного перехода от указанных кусочно постоянных функций. Пусть А - измеримое множество и j А ( х ) 1 для х , принадлежащих А , и j А ( х ) 0 для х, не принадлежащих А . Тогда интеграл от f ( x ) по множеству А определяют, полагаяПри фиксированных m и А И. в зависимости от f может рассматриваться как линейный функционал ; при фиксированном f И., как функция множества А , есть счётно аддитивная функция. Следует отметить, что, несмотря на кажущуюся отвлечённость, это общее понятие И. в наибольшей степени подходит для определения такого понятия, как математическое ожидание (в теории вероятностей), и даже для общей формулировки задачи проверки статистических гипотез. И. по отношению к так называемой мере Винера и различным её аналогам используют в статистической физике (здесь в качестве Х фигурирует пространство непрерывных на каком-либо отрезке функций). Упоминавшиеся до сих пор обобщения понятия И. были такими, что f и | f | оказывались интегрируемыми или неинтегрируемыми одновременно. Обобщения первоначального понятия И. в другом направлении относятся к функциям одного переменного, но зато дают много больше в исследовании интегрирования неограниченных функций. Ещё Коши в случае функции f ( x ), неограниченной в точке х с , определил интеграл , когда a < c < b , как предел выражения , при e1 - 0 и e2 - 0 . Аналогично И. с бесконечными пределамиопределяется как предел И. , при а - - ¥ и b - + ¥. Если при этом не требуется интегрируемости | f ( x )|, т. е. f ( x ) интегрируема 'не абсолютно', то это определение Коши не поглощается лебеговским. Ещё более широкое обобщение понятия И. в этом направлении было предложено А. Данжуа (
1912) и А. Я. Хинчиным (
1915).Лит.: Лебег А., Интегрирование и отыскание примитивных функций, пер. с франц., М.-Л., 1934; Сакс С., Теория интеграла, пер. с англ., М., 1949; Камке Э., Интеграл Лебега - Стилтьеса, пер. с нем., М., 1959; Уитни Х., Геометрическая теория интегрирования, пер. с англ., М., 1960; Рудин У., Основы математического анализа, пер. с англ., М., 1966; Данфорд Н., Шварц Дж. Т., Линейные операторы. Общая теория, пер. с англ., М., 1962; Невё Ж., Математические основы теории вероятностей, пер. с франц., М., 1969; Federer Н., Geometric measure theory, В. - Hdlb. - N. Y.,

1969. Под редакцией академика А. Н. Колмогорова.

Полный орфографический словарь русского языка

Интеграл

интеграл, -а

Викисловарь

Интеграл

величина, рассматриваемая как сумма своих бесконечно малых частей

Изучайте больше слов

Примеры употребления слова «интеграл» в литературе

Установленная Остроградским в 1828 году формула преобразования интеграла по объему в интеграл по поверхности была обобщена им в 1834 году на случай n-кратного интеграла.

Сведение двойного интеграла к повторному однократному является одним из эффективных способов вычисления двойного интеграла, — почти по слогам прочел Санар. — Что такое двойной интеграл?

Риману принадлежит глубокий анализ понятия интегралаинтеграл Римана»); он дал новое построение теории функций комплексного переменного, используя геометрические методы (т.

несобственного интеграла, зависящего от параметра, понимают множество значений этого параметра, при которых данный несобственный интеграл сходится.

получил дифференциального уравнения распространения тепла и одновременно пришёл к ряду важнейших результатов в области математического анализа: нашёл формулу преобразования интеграла по объёму в интеграл по поверхности (см.

формула преобразования интеграла по объёму в интеграл по поверхности была обобщена им (1834) на случай n-кратного интеграла.

Можно также найти статистический интеграл для такой системы из небольшого числа частиц путём вычисления на ЭВМ интегралов в основной формуле для статистического интеграла (обычно при этом используется Монте-Карло метод

Слова которые можно составить из слова «интеграл»

Оставьте комментарий

А Б В Г Д Е Ё Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я